Question

已知函数f（x）=ex+x2-x，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围

Answer 1

解题思路：函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等价于f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]内的最大值与最小值的差小于等于k．

∵f（x）=e^x+x²-x，

∴f′（x）=e^x+2x-1，

由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．又f′（x）单调递增，可知f′（x）=0有唯一零点0，

∵f（-1）=[1/e]+2，f（1）=e，f（0）=1．

∴函数f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]内的最大值是e，最小值是1．

∴函数f（x）=e^x+x²-x，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．

∵函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，

∴k≥e-1．

∴k的取值范围为[e-1，+∞）．

故选：A．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是要分析出|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min．