解题思路:(1)先求导数f′(x)然后在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,f′(x)>0的区间为单调增区间,f′(x)<0的区间为单调减区间.
(2)对函数求导,求出函数的单调区间,根据函数的单调区间得到若f(x)在[1,2]上不单调,只要极值点出现在这个区间就可以,得到对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,从而求m的取值范围.
(1)f′(x)=
a
x−a=
a(1−x)
x(x>0),
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞)
当a<0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1)
(2)∵函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线倾斜角为45°,
∴f′(2)=[−a/2]=1,解得a=-2,所以f(x)=-2lnx+2x-3,
则函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
m
2]=x3+(
m
2+2)x2−2x,
故g′(x)=3x2+(m+4)x-2
因为g(x)在(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,
∴
g′(t)<0
g′(3)>0.
由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
综上,
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0 ,解得−
37
3<m<−9.
故m的取值范围为:−
37
3<m<−9.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,利用导数判断函数的单调性的步骤是:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;
(4)确定函数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.