已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R且a≠0.).

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  • 解题思路:(1)先求导数f′(x)然后在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,f′(x)>0的区间为单调增区间,f′(x)<0的区间为单调减区间.

    (2)对函数求导,求出函数的单调区间,根据函数的单调区间得到若f(x)在[1,2]上不单调,只要极值点出现在这个区间就可以,得到对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,从而求m的取值范围.

    (1)f′(x)=

    a

    x−a=

    a(1−x)

    x(x>0),

    当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞)

    当a<0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1)

    (2)∵函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线倾斜角为45°,

    ∴f′(2)=[−a/2]=1,解得a=-2,所以f(x)=-2lnx+2x-3,

    则函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

    m

    2]=x3+(

    m

    2+2)x2−2x,

    故g′(x)=3x2+(m+4)x-2

    因为g(x)在(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,

    g′(t)<0

    g′(3)>0.

    由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,

    综上,

    g′(1)<0

    g′(2)<0

    g′(3)>0 ,解得−

    37

    3<m<−9.

    故m的取值范围为:−

    37

    3<m<−9.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查了函数的单调性,利用导数判断函数的单调性的步骤是:

    (1)确定函数的定义域;

    (2)求导数f′(x);

    (3)在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;

    (4)确定函数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.