Question

已知：△ABC是任意三角形。 （1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A。

Answer 1

（1）∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，

∴线段MP、PN是△ABC的中位线，

∴MP∥AN，PN∥AM

∴四边形AMPN是平行四边形

∴∠MPN=∠A。

（2）∠MP ₁N+∠MP ₂N=∠A正确

如图所示，连接MN

∵

，∠A=∠A

∴△AMN∽△ABC

∴∠AMN=∠B，

∴MN∥BC，

∵点P ₁、P ₂是边BC的三等分点，

∴MN与BP ₁平行且相等，MN与P ₁P ₂平行且相等，MN与P ₂C平行且相等，

∴四边形MBP ₁N、MP ₁P ₂N、MP ₂CN都是平行四边形，

∴MB∥NP ₁，MP ₁∥NP ₂，MP ₂∥AC

∴∠MP ₁N=∠1，∠MP ₂N=∠2，∠BMP ₂=∠A，

∴∠MP ₁N+∠MP ₂N=∠1+∠2=∠BMP ₂=∠A。

（3）∠A。