Question

设{Un}为单调增加的正项数列,且(1-Un/U(n+1))（n从1到正无穷）的和收敛,试证明{Un}有界.

Answer 1

首先比值判别法其实不限于正项级数(甚至可以是复数).当|u[n+1]/u[n]|收敛于c < 1, 级数一定收敛.因为此时∑|u[n]|收敛, ∑u[n]绝对收敛, 从而也收敛.当|u[n+1]/u[n]|收敛于c > 1, 级数一定发散.因为此时|u[n]|从某项起单调递增, u[n]不收敛到0, 级数发散.对于幂级数∑a[n]·x^n, 可以取定x = b, 用上述比值判别法讨论x = b处的收敛性(数项级数).(a[n+1]·b^(n+1))/(a[n]·b^n) = b·a[n+1]/a[n].若|a[n+1]/a[n]|收敛到c, 则上述比值的绝对值收敛到|b|c.因此级数对|x| < 1/c收敛, 对|x| > 1/c发散, 收敛半径就是1/c.对于这道题来说, 可以用系数比值(n+1)!/n! → +∞得到收敛半径为0.原理上就是对任意b ≠ 0, |((n+1!·b^(n+1))/(n!·b^n)| = (n+1)|b| → +∞.