你这题首先要理解这个词组：inform sb of sth通知某人某事/使某人知道某事.换成被动形式就是：sb be informed of sth.某人被通知（告知）某人.
再看句子里的keep them informed of .keep是谓语,them是宾语,后面一直到最后是宾语补足语.宾语与宾补语之间有逻辑上的被关系（them是被通知的）,就用了它的过分形式.这个过分形式里有个介词of它后面又接了自己的一个宾语从句.
This is a artist privileged to visit the gallery.是后置定语
We should make the artist privileged to visit the gallery是宾语补足语.
We should keep them informed单看也是完整的,但意思如果没有前后文的话,就有些不明.
“我们应该让他们知道（也就是被通知）”知道什么啊?没后文了,如：
---When will the meeting begin?
---Don't worry,I will keep you informed.(of when the meeting will begin).
回答语中,如果没有括号里的,也是完整的,因为前文有讲.
如果没有前文的话,就不知所云了.