Question

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B

Answer 1

解题思路：（1）由切割线定理可得DT•DM=DB•DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；

（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．

证明：（1）因MD与圆O相交于点T，

由切割线定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，

得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），

因BD=OB，且BC=OC=[r/2]，

则DB•DA=r•3r=3r²，DO•DC＝2r•

3r

2＝3r2，

所以DT•DM=DO•DC．

（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，

且∠TDO=∠CDM，

故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；

根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠BMC=30°．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．

考点点评： 本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．