Question

设动点P(x,y)(x≥0)到定点F 的距离比到y轴的距离大 .记点P的轨迹为曲线C.

Answer 1

(1) y ²=2x (2) BD=2,即弦长BD为定值 (3)8

解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F

为焦点,直线l:x=-

为准线的抛物线,其方程为y ²=2x.

(2)是定值.解法如下:设圆心M

,

半径r=

,

圆的方程为

+(y-a) ²=a ²+

,

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),

∴BD=2,即弦长BD为定值.

(3)设过F的直线GH的方程为y=k

,G(x ₁,y ₁),H(x ₂,y ₂),

由

得k ²x ²-(k ²+2)x+

=0,

∴x ₁+x ₂=1+

,x ₁x ₂=

,

∴|GH|=

·

=2+

,

同理得|RS|=2+2k ².

S _{四边形GRHS}=

(2+2k ²)=

2≥8(当且仅当k=±1时取等号).

∴四边形GRHS面积的最小值为8.