Question

定义在（-n,n)上的任意函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和,怎么证明?

Answer 1

若f(x)为定义在（-n,n)上的任意函数

则设

g(x)=[f(x)+f(-x)]/2

h(x)=[f(x)-f(-x)]/2

易验证g(x)=g(-x)

-h(x)=h(-x)

所以g(x)为偶函数,h(x)为奇函数.

而f(x)=g(x)+h(x)

所以得证.