Question

三角形ABC内接与圆O,AB=AC,I为弦AD上一点,且AI=AC,求证:I为三角形BCD的内心.

Answer 1

证明：延长BI交与圆上F点,延长CI交与圆上E点,

∠ADB=1/2弧AB; ∠ADC=1/2弧AC

因为 AB=AC

弧AB=弧AC

所以∠ADB=∠ADC

因为∠AIB=∠DIF=1/2（弧AB+弧DF)

又因为∠ABF=1/2（弧AC+弧CF)

因为 AB=AC=AI

所以∠ABI=∠AIB

所以 1/2（弧AB+弧DF)= 1/2（弧AC+弧CF)

因为 弧AB=弧AC 所以 弧DF=弧CF 所以∠DBF=∠FBC 所以 BI是∠DBC角平分线

同理可得 EC是∠DCB角平分线

即 I是三角形BDC角平分线的交点,为三角形BDC内切圆圆心,

所以 I是三角形BDC的内心