解题思路:(Ⅰ) 取BC的中点H,连接PH,连接AH交BD于E.根据三垂线定理,只需证明AH⊥BD即可.
(Ⅱ)连接PE,则由(Ⅰ)知PE⊥BD.∴∠PEH为所求二面角的平面角.在直角三角形PEH中求解.
(Ⅰ)取BC的中点H,连接PH,连接AH交BD于E.
∵BC=PB=PC,∴PH⊥BC.
又面PBC⊥面ABCD,
∴PH⊥面ABCD.
∵tan∠HAB=tan∠DBC=
1
2,
∴∠HAB=∠DBC.
∵∠DBC+∠DBA=90°,
∴∠HAB+∠DBA=90°
∠AEB=90°,即AH⊥BD.
因为AH为PA在平面ABCD上的射影,∴PA⊥BD.
(Ⅱ)连接PE,则由(Ⅰ)知PE⊥BD.
∴∠PEH为所求二面角的平面角.
在△DBC中,由tan∠DBC=
1
2,求得sin∠DBC=
1
5.
∴tan∠PEH=
PH
HE=
BHtan60°
BHsin∠DBC=
3
1
5=
15.
即所求二面角的正切值为
15.
点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的性质.
考点点评: 本题考查直线和平面位置关系及其判定,二面角求解,考查转化的思想方法(线线垂直与线面垂直互化)空间想象能力,计算能力.