已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2C

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ) 取BC的中点H,连接PH,连接AH交BD于E.根据三垂线定理,只需证明AH⊥BD即可.

    (Ⅱ)连接PE,则由(Ⅰ)知PE⊥BD.∴∠PEH为所求二面角的平面角.在直角三角形PEH中求解.

    (Ⅰ)取BC的中点H,连接PH,连接AH交BD于E.

    ∵BC=PB=PC,∴PH⊥BC.

    又面PBC⊥面ABCD,

    ∴PH⊥面ABCD.

    ∵tan∠HAB=tan∠DBC=

    1

    2,

    ∴∠HAB=∠DBC.

    ∵∠DBC+∠DBA=90°,

    ∴∠HAB+∠DBA=90°

    ∠AEB=90°,即AH⊥BD.

    因为AH为PA在平面ABCD上的射影,∴PA⊥BD.

    (Ⅱ)连接PE,则由(Ⅰ)知PE⊥BD.

    ∴∠PEH为所求二面角的平面角.

    在△DBC中,由tan∠DBC=

    1

    2,求得sin∠DBC=

    1

    5.

    ∴tan∠PEH=

    PH

    HE=

    BHtan60°

    BHsin∠DBC=

    3

    1

    5=

    15.

    即所求二面角的正切值为

    15.

    点评:

    本题考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的性质.

    考点点评: 本题考查直线和平面位置关系及其判定,二面角求解,考查转化的思想方法(线线垂直与线面垂直互化)空间想象能力,计算能力.