Question

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5则a的最大值为（　　）

Answer 1

解题思路：根据柯西不等式当n=3时的不等式：（

x

1

2

+

x

2

2

+

x

3

2

）（

y

1

2

+

y

2

2

+

y

3

2

）≥（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²，得到（2b²+4c²+4d²）（[1/2]+[1/4]+[1/4]）≥（b+c+d）²．从而得到关于a不等式：5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，最后根据柯西不等式取等号的条件，找到当b=[1/2]，c=d=[1/4]时，a有最大值2．

根据柯西不等式，得（2b²+4c²+4d²）（[1/2]+[1/4]+[1/4]）≥（b+c+d）²

当且仅当2b=4c=4d时，等号成立

∵a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5

∴5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，

当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=[1/2]，c=d=[1/4]时，a有最大值2．

故选B

点评：

本题考点： 平均值不等式在函数极值中的应用．

考点点评： 本题在a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5的情况下，求实数a的最大值，着重考查了柯西不等式及其应用，属于中档题，解题时应该注意柯西不等式等号成立的条件．