Question

如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，

Answer 1

（Ⅰ）设P(x ₁，y ₁)，Q(x ₂，y ₂)，M(x ₀，y ₀)，

依题意x ₁≠0，y ₁＞0，y ₂＞0，

由y=

x ²， ①

得y′=x，

∴过点P的切线的斜率k _切=x ₁，

∴直线l的斜率k _l=

，

∴直线l的方程为

，

联立①②消去y，得

，

∵M是PQ的中点，

∴

，

消去x ₁，得

，

∴PQ中点M的轨迹方程为

；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，

依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)，

分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，

则

，

由

消去x，得y ²-2(k ²+b)y+b ²=0， ③

则y ₁+y ₂=2(k ²+b)，y ₁y ₂=b ²，

∴

，

∵y ₁、y ₂可取一切不相等的正数，

∴

的取值范围是（2，+∞）。