解题思路:(Ⅰ)由椭圆的离心率等于12,结合右焦点F2到直线l1:3x+4y=0的距离为35联立方程组求解a,c的值,进一步求得b的值,则椭圆C的方程可求;(Ⅱ)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x-1),和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得E,F两点的横坐标的和与积,写出AE和AF的方程,取x=3求得点M和点P的坐标,由两点求斜率公式求得直线PF2的斜率为k′,代入k•k′整理为定值.
(Ⅰ)由题意得e=
c
a=
1
2,
|3c|
32+42=
3c
5=
3
5,
∴c=1,a=2,
∴所求椭圆方程为
x2
4+
y2
3=1;
(Ⅱ)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x-1),
再设点E(x1,y1),点F(x2,y2),
将直线l方程y=k(x-1)代入椭圆C:
x2
4+
y2
3=1,
整理得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
∵点P在椭圆内,
∴直线l和椭圆都相交,△>0恒成立,
且x1+x2=
8k2
4k2+3x1•x2=
4k2−12
4k2+3,
直线AE的方程为:y=
y1
x1−2(x−2),直线AF的方程为:y=
y2
x2−2(x−2).
令x=3,得点M(3,
y1
x1−2),N(3,
y2
x2−2),
∴点P的坐标(3,
1
2(
y1
x1−2+
y2
x2−2)),
直线PF2的斜率为k′=
1
2(
y1
x1−2+
y2
x2−2)−0
3−1=
1
4(
y1
x1−2+
y2
x2−2)
=[1/4
y2x1+x2y1−2(y1+y2)
x1x2−2(x1+x2)+4=
1
4•
2kx1x2−3k(x1+x2)+4k
x1x2−2(x1+x2)+4],
将x1+x2=
8k2
4k2+3,x1x2=
4k2−12
4k2+3代入上式,得:k′=
1
4•
2k•
4k2−12
4k2+3−3k•
8k2
4k2+3+4k
4k2−12
4k2+3−2
8k2
4k2+3+4=−
3
4k
∴k•k'为定值−
3
4.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解,这是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是高考试卷中的压轴题.