已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为[1/2],右焦点F2到直线l1:3x+4y=0的距离为[3/

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)由椭圆的离心率等于12,结合右焦点F2到直线l1:3x+4y=0的距离为35联立方程组求解a,c的值,进一步求得b的值,则椭圆C的方程可求;(Ⅱ)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x-1),和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得E,F两点的横坐标的和与积,写出AE和AF的方程,取x=3求得点M和点P的坐标,由两点求斜率公式求得直线PF2的斜率为k′,代入k•k′整理为定值.

    (Ⅰ)由题意得e=

    c

    a=

    1

    2,

    |3c|

    32+42=

    3c

    5=

    3

    5,

    ∴c=1,a=2,

    ∴所求椭圆方程为

    x2

    4+

    y2

    3=1;

    (Ⅱ)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x-1),

    再设点E(x1,y1),点F(x2,y2),

    将直线l方程y=k(x-1)代入椭圆C:

    x2

    4+

    y2

    3=1,

    整理得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

    ∵点P在椭圆内,

    ∴直线l和椭圆都相交,△>0恒成立,

    且x1+x2=

    8k2

    4k2+3x1•x2=

    4k2−12

    4k2+3,

    直线AE的方程为:y=

    y1

    x1−2(x−2),直线AF的方程为:y=

    y2

    x2−2(x−2).

    令x=3,得点M(3,

    y1

    x1−2),N(3,

    y2

    x2−2),

    ∴点P的坐标(3,

    1

    2(

    y1

    x1−2+

    y2

    x2−2)),

    直线PF2的斜率为k′=

    1

    2(

    y1

    x1−2+

    y2

    x2−2)−0

    3−1=

    1

    4(

    y1

    x1−2+

    y2

    x2−2)

    =[1/4

    y2x1+x2y1−2(y1+y2)

    x1x2−2(x1+x2)+4=

    1

    4•

    2kx1x2−3k(x1+x2)+4k

    x1x2−2(x1+x2)+4],

    将x1+x2=

    8k2

    4k2+3,x1x2=

    4k2−12

    4k2+3代入上式,得:k′=

    1

    4•

    2k•

    4k2−12

    4k2+3−3k•

    8k2

    4k2+3+4k

    4k2−12

    4k2+3−2

    8k2

    4k2+3+4=−

    3

    4k

    ∴k•k'为定值−

    3

    4.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解,这是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是高考试卷中的压轴题.