Question

已知数列{a n }，{b n }与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n =b n ，f（b n ）=g（b

Answer 1

（1）由题设知

得

又已知

，可得

由

可知

所以

是等比数列，其首项为

，公比为

，于是

即

又

存在，可得

所以-2＜t＜2且t≠0

∴

。

（2）因为

所以

即

下面用数学归纳法证明a _n+1＜a _n（n∈N*）

（i）当n=1时，由f（x）为增函数，且

＜1，得

＜1

＜1

＜

即a ₂＜a ₁，结论成立

（ii）假设n=k时结论成立，即

＜

，由f（x）为增函数，得

f（a _k+1）＜f（a _k），即

＜

进而得

＜f（

）即

＜

这就是说当n=k+1时，结论也成立

根据（i）（ii）可知，对任意的n∈N*，a _n+1＜a _n。