lim【x→∞】[﹙x-a﹚/﹙x+a﹚]^x=∫【+∞,a】 4x^2e^(-2x)dx,求常数a

1个回答

  • lim(x→∞) [(x-a)/(x+a)]^x

    =lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ [(x+a)/2a * 2ax/(x+a)]

    由重要极限可以知道,

    lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ (x+a)/2a =1/e,

    而x→∞时,2ax/(x+a)趋于2a,

    所以

    lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ [(x+a)/2a * 2ax/(x+a)]

    =e^(-2a)

    ∫ 4x^2e^(-2x)dx

    =∫ -2x^2d[e^(-2x)] 使用分部积分法,

    = -2x^2e^(-2x) + ∫ e^(-2x)d(2x^2)

    = -2x^2e^(-2x) + ∫ 4x*e^(-2x)dx

    = -2x^2e^(-2x) - 2x*e^(-2x) + ∫ e^(-2x)d(2x)

    = -2x^2e^(-2x) - 2x*e^(-2x) - e^(-2x) +C (C为常数)

    ∫ [+∞,a] 4x^2e^(-2x)dx

    =2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a) + e^(-2a)

    由条件知

    lim(x→∞) [(x-a)/(x+a)]^x

    =∫ [+∞,a] 4x^2e^(-2x)dx

    e^(-2a)=2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a) + e^(-2a)

    即2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a)=0,

    而e^(-2a)>0,

    故2a^2+2a=0,

    解得a=0或 -1