Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：EB•DF=AE•BD．

Answer 1

解题思路：先利用△BFC∽△BCE，得出BC²=BE×BF，再利用射影定理求出BC²=BD×BA，可得出BE×BF=BD×BA，再由公共角得出△BFD∽△BAE，即可得出EB•DF=AE•BD．

证明：∵CF⊥BE，

∴∠BFC=90°，

又∵∠BCE=90°，∠CBF=∠EBC，

∴△BFC∽△BCE

∴[BC/BE]=[BF/BC]，即BC²=BE×BF，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴BC²=BD×BA，

∴BE×BF=BD×BA

∴[BE/BD]=[BA/BF]，

又∵∠DBF=∠EBA

∴△BFD∽△BAE，

∴[EB/AE]=[BD/DF]，即EB•DF=AE•BD．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出BE×BF=BD×BA．