Question

已知半径为r的⊙O1与半径为R的⊙O2外离，直线DE经过O1切⊙O2于点E并交⊙O1于点A和点D，直线CF经过O2切⊙O

Answer 1

解题思路：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，根据切线的性质得∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，可证O₁、F、O₂、E四点共圆，得出∠AO₁F=∠EO₂B，再利用等腰三角形的性质，外角的性质证明∠EAF=∠EBF，判断A、E、B、F四点共圆；

（2）由（1）的结论可证∠ABF=∠AEF，同理可证F、C、E、D四点共圆，得到∠DEF=∠DCF，从而有∠ABF=∠DCF，证明结论．

证明：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，

∵DE，CF为切线，

∴∠O₁F0₂=∠O₂EO₁=90°，∴O₁、F、O₂、E四点共圆，

∴∠AO₁F=∠EO₂B，

又∵O₁A=O₁F，O₂E=O₂B，

∴根据三角形外角定理，得∠EAF=∠EBF，

所以A、E、B、F四点共圆；

（2）∵A、E、B、F四点共圆，

∴根据同弧所对的圆周角相等，连接EF，则∠ABF=∠AEF，

同（2）法可证F、C、E、D四点共圆，则∠DEF=∠DCF，

而∠AEF和∠DEF为同一角，则∠ABF=∠DCF，

所以AB∥CD．

设DC与O₁，O₂的另一交点分别为M、N，连接AM、BN，连接O₁O₂

∵AB∥CD

（ⅰ）设DC与O₁，O₂的另一交点分别为M、N，连接AM、BN，连接O₁O₂

∵AB∥CD

∴四边形ABCD是梯形

又O₁、O₂是圆心，AD、BC是直径

∴O₁O₂梯形ABCD的中位线，AM⊥BC，BN⊥BC

∴O₁F=r，AD=2r；O₂E=R，BC=2R

∴O₁O₂=[1/2]（AB+CD），O₁O₂∥BC

∴∠O₁O₂F=∠C

∵CF、DE分别是⊙O₁、⊙O₂的切线

∴O₁F⊥O₂F，O₂E⊥O₁E

∴Rt△BCN∽Rt△O₁O₂F

∴O₁O₂：BC=O₁F：BN

∴O₁O₂•BN=BC•O₁F=2Rr

∵AB∥BC，BN⊥BC

∴BN是梯形ABCD的高

∴S_梯形=[1/2]（AB+CD）•AM=O₁O₂×BN=2R

点评：

本题考点： 四点共圆；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查了四点共圆的判定与性质，切线的性质．关键是根据切线的性质，逐步判断四点共圆，利用四点共圆的性质证明结论．