Question

已知关于x的方程x2-3x+a=0的一个根和x2-ax+3=0的一个根互为相反数，方程x2+ax+b=0与x2+bx+a

Answer 1

解题思路：设m是关于x的方程x²-3x+a=0的一个根，则m²-3m+a=0，则-m关于x的方程x²-ax+3=0的一个根，分别代入方程相减得3+a）（m+1）=0，根据3+a≠0，则

m+1=0，求得m的值进而求得a的值，代入方程x²+ax+b=0与x²+bx+a=0，求得b的值，然后解这两个方程组成的方程组，求得非公共根，即可求得方程ax²+bx-（β₁+β₂）=0的根．

设m是关于x的方程x²-3x+a=0的一个根，则m²-3m+a=0，①

∵-m关于x的方程x²-ax+3=0的一个根，

∴m²+ma+3=0，②

由②-①，得

（a+3）m+（3+a）=0，即（3+a）（m+1）=0，

∵a≠-3

∴m+1=0，

解得 m=-1

∴a=-4．

设方程x²+ax+b=0与x²+bx+a=0有一个公共根为n，则

n²-4n+b=0，③

n²+bn-4=0，④

由④-③，得

（b+4）（n-1）=0，

∵b≠-4，

∴n-1=0

解得n=1．

∴b=3

∴方程为，x²-4x+3=0与x²+3x-4=0，

∴β₁=3或-4，β₂=-4或3，

∴β₁+β₂=-1

∴方程为-4x²+3x+1=0，

即4x²-3x-1=0，

∴（4x+1）（x-1）=0

x₁=-[1/4]，x₂=1．

点评：

本题考点： 一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 本题考查了一元一次方程的解、解一元二次方程：因式分解法，以及解方程组，理清方程之间的关系是本题的关键．