Question

判断函数f(x)＝ax+1x+2(a≠12)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

解题思路：设x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂，化简f（x₂）-f（x₁），变形到因式乘积的形式，判断符号，注意分类讨论，可得答案．

设x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂∵f(x)＝

ax+2a+1−2a

x+2＝a+

1−2a

x+2（2分）

∴f（x₂）-f（x₁）=(a+

1−2a

x2+2)−(a+

1−2a

x1+2)

=(1−2a)(

1

x2+2−

1

x1+2)=(1−2a)•

x1−x2

(x2+2)(x1+2)（8分）

又∵-2＜x₁＜x₂，∴

x1−x2

(x2+2)(x1+2)＜0

∴当1-2a＞0，即a＜

1

2时，f（x₂）＜f（x₁），

当1-2a＜0，即a＞

1

2时，f（x₂）＞f（x₁），

所以，当a＜

1

2时，f(x)＝

ax+1

x+2在（-2，+∞）为减函数；

当a＞

1

2时，f(x)＝

ax+1

x+2在（-2，+∞）为增函数．（12分）

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查证明函数单调性的方法，体现分类讨论的数学思想．