解题思路：（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
（1）△APQ是等边三角形，
理由是：∵t=1，
∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，
∵∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形；
（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，
理由如下：
∵t=1.5s，
∴AP=CP=1.5cm，
∵AQ=3cm，
∴AQ=AC．
又∵∠A=60°，
∴△ACQ是等边三角形，
∴AQ=CQ，
在△APQ和△CPQ中
AQ＝CQ
AP＝CP
PQ＝PQ
∴△APQ≌△CPQ；
（3）在Rt△ABC中，BC＝
AB2−AC2＝
62−32＝
27，
由题意得：2t-t=AB+BC，
即t＝6+
27，
∴点P运动的路程是（6+
27）cm，
∵3+6＜6+
27＜3+6+
27，
∴第一次相遇在BC边上，
又（9+
27）-（6+
27）=3，
∴经过（6+
27）秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇．
点评：
本题考点： 勾股定理；全等三角形的判定；等边三角形的判定．
考点点评： 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．