如图,已知点D为等边△ABC中AC边上一点,点E为AB边上一点,且CD=AE.过点E作EF⊥BD于点F,BD与CE交于点

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  • 解题思路:由三角形ABC为等边三角形得到AC=BC,且∠A=∠ACB=60°,再有AE=CD,利用SAS得到三角形AEC与三角形CDB全等,利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠CBD,再有∠ACB=∠ACE+∠ECB=60°,等量代换及利用外角性质得到∠EPB=60°,进而确定出∠PEF为30°,在直角三角形PEF中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得证.

    证明:∵△ABC为等边三角形,

    ∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°,

    在△AEC和△CDB中,

    AE=CD

    ∠A=∠ACB=60°

    AC=CB,

    ∴△AEC≌△CDB(SAS),

    ∴∠ACE=∠CBD,

    ∵∠ACE+∠ECB=60°,

    ∴∠CBD+∠ECB=60°,

    ∵∠EPB为△PBC的外角,

    ∴∠EPB=60°,

    ∴在Rt△EFP中,∠PEF=30°,

    则PF=[1/2]PE.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.