Question

已知a＞b＞0，求证：ea+e-a＞eb+e-b．

Answer 1

解题思路：不妨设f（x）=e^x+e^-x，求出函数的导数，找到单调区间，从而得到f（a）＞f（b），问题得证．

不妨设f（x）=e^x+e^-x，

法1：∴f（a）=e^a+e^-a，f（b）=e^b+e^-b，

∴f（a）-f（b）=e^a+

1

ea-e^b-

1

eb

=

(ea−eb)(eaeb−1)

eaeb，

∵a＞b＞0，

∴对于分子：e^a＞e^b，e^ae^b＞1，故分子大于0，

对于分母：e^ae^b＞0，

∴f（a）-f（b）＞0，

∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．

法2：∵f′（x）=e^x-

1

ex=

(ex)2−1

ex，

当x＞0时，e^x＞1，∴（e^x）²-1＞0，

∴f′（x）＞0，

∴x＞0时，f（x）是增函数，

∴f（a）＞f（b），

∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．

点评：

本题考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道基础题．