Question

已知函数f（x）=2ax+b在[1，2]上的最小值为1，最大值为2，求f（x）的解析式．

Answer 1

解题思路：当a＞0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调增函数，x=1，函数有最小值，x=2，函数有最大值；

当a＜0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调减函数，x=1，函数有最大值，x=2，函数有最小值．

当a＞0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调增函数（2分）

∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有2^a+b=1（3分）

x=2，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有2=2^2a+b（4分）

可得a=1，b=-1 （6分）

∴f（x）=2^x-1（7分）

当a＜0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调减函数（9分）

∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有∴2^a+b=2（10分）

x=2，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有1=2^2a+b（11分）

可得a=-1，b=2 （13分）

∴f（x）=2^-x+2（14分）

∴f（x）的解析式为f（x）=2^x-1或 f（x）=2^-x+2（16分）

点评：

本题考点： 指数函数的图像与性质；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 本题考查函数的单调性，以及利用函数的单调性求函数的最值问题，用待定系数法求函数解析式．