已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.

1个回答

  • (1)当a=

    5

    3时f′(x)=3x2-10x-3=(x-3)(3x-1)

    令f′(x)=0,得x=[1/3]或x=3.

    x 0 (0,[1/3]) [1/3] (

    1

    3,3) 3 (3,5) 5

    f′(x) + 0 - 0 +

    f(x)

    1 [40/27]  -8

     16∴f(x)在[0,5]上的最大值为16,最小值为-8.

    (2)∵f′(x)=3x2-6ax+3,而f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式△>0(即a>1或a<-1)的条件下在区间(2,3)有解.

    ∴由3x2-6ax+3=0可得a=

    1

    2(x+

    1

    x),

    令g(x)=

    1

    2(x+

    1

    x),求导函数可得g′(x)=

    1

    2(1−

    1

    x2)

    ∴g(x)在(2,3)上单调递增,

    ∴[5/4<

    1

    2(x+

    1

    x)<

    5

    3],

    ∴[5/4<a<

    5

    3],此时满足△>0,

    故a的取值范围是[5/4<a<

    5

    3].