Question

已知函数f(x)=|2x-1|,x属于【0.1】,若f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),其中n>=2

Answer 1

n=1

解f1(x)=1/2,f1(x)=f(x)=|2x-1|=1/2 ,2x-1=±1/2 ,x=1/2 ± 1/4

所以f1(x)=1/2有两解,设两解为x11 、 x12,x11>x12

分别是绝对值符号内为正、负两解,代入方程式

x11 = 1/2 +1/4 x12 = 1/2 - 1/4 ,所以 x11+ x12 =1 = n

n=2,解f2(x)=1/2 ,f2(x) = f(f1(x))=f(|2x-1|) = |2|2x-1|-1| =1/2 ,2|2x-1|-1=±1/4

所以f2(x)=1/2 有四解,分别是两个绝对值符号分别为正、负的四解,内绝对值为正分别有两解,

2(2x21-1)-1=1/2

2(2x22-1)-1=-1/2 两式相加得 x21+x22 =1

内绝对值为负有两解

2(1-2x23)-1=1/2

2(1-2x24)-1=-1/2 两式相加得 x23+x24 =1

所以 x21+x22+x23+x24=2 =n

再用数学归纳法,推算n>2时,fnx=1/2 的解数量 比 f(n-1)x=1/2 多了一倍,且各个解之和等于n

这个步骤比较繁琐,但是是可行的

得出最后的答案fn(x）=1/2的所有解的和为

1+2+3+.+n = n(n+1)/2