在变换到阶梯矩阵之后,每一行第一个非零元素所在列对应的向量组合起来就是极大线性无关组.
极大线性无关组一般都不是只有1个,只要向量组自身不是极大线性无关组,那么就一定有2个或以上的极大线性无关组,但是一般习惯于用数字小的向量,比如会选择X1、X2、X3,而不会选择X1、X2、X4.
在找到一个极大线性无关组之后,组外的向量可以用这个极大线性无关组来表示,那么同样,这个极大线性无关组里的一个向量也可以用极大线性无关组里的其他向量和一个组外的向量来表示,这样就找到了另一个极大线性无关组.以我之前回答的一个极大线性无关组的问题为例.
1 -1 2 -2 1 1 -1 2 -2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
2 -1 3 -2 1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1
3 -2 5 -1 3 0 1 -1 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1
4 -2 6 -1 3 0 2 -2 7 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0
所以极大线性无关组是X1、X2、X4,X3=X1-X2,X5=-5/3X2+1/3X4.
从最后的阶梯矩阵看,第二行可以不选第一个数1对应的向量,可以选-1对应的向量,那么极大线性无关组就是X1、X3、X4,X2=X1-X3,X5=5/3X1-5/3X3+1/3X4.
也可以第三行不选3对应的向量,选1对应的向量,那么极大线性无关组就是X1、X2、X5,X2=X1-X3,X4=5X2+3X5.
总之,阶梯矩阵阶梯上的数对应的向量都可以选,注意一定是阶梯上,这些数一定下面是0或者已经是矩阵最下面一行.每级阶梯上选出一个数,它们对应的向量就可以组成一个极大线性无关组.