解题思路：（1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导函数，利用导数的正负，确定函数y=f（x）的单调性，从而可求在（-1，+∞）上的最大值．
（1）当a=1时，f(x)＝
2x
x2+1，f（1）=1，…（1分）
又f′(x)＝
2(x2+1)−4x2
(x2+1)2＝
2−2x2
(x2+1)2，则f'（1）=0．…（3分）
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=0． …（4分）
（2）f′(x)＝
2a(x2+1)−2x(2ax−a2+1)
(x2+1)2＝
−2(x−a)(ax+1)
(x2+1)2．
由于a＞0，令f'（x）=0，得到x1＝−
1
a，x2=a，…（6分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x cos2x-cosx≤k2-k（x∈R） −
1
a (−
1
a，a) a （a，+∞）
f（a）=1 - 0 + 0 -
f（x） 极小值 & 极大值 …（9分）
∴f（x）在区间(−∞，−
1
a)，（a，+∞）内为减函数，在区间(−
1
a，a)内为增函数．
故函数f（x）在点x2=a处取得极大值{an}，且f（a）=1．
∵f（-1）=
−2a−a2+1
2，且f（-1）-f（a）=
−2a−a2+1
2-1=
−2a−a2−1
2＜0，
∴f（x）在-1，+∞）上的最大值为1．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确求导是关键．