解题思路:(1)连AC,A1C1,根据正方体的几何特征,可得AA1⊥BD,AC⊥BD,由线面垂直的判定定理,可得BD⊥平面ACC1A1,再根据线面垂直的性质,即可得到BD⊥A1E.
(2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO,结合(1)的结论,可得∠A1EO即为二面角A1-BD-E的平面角,解三角形A1EO,可以求出为二面角A1-BD-E为直二面角,即平面A1BD⊥平面EBD;
(3)由(2)得A1O⊥平面BDE,求出棱锥的底面面积和棱锥高,代入锥棱的体积公式,即可求出答案.
证明:(1)连AC,A1C1.∵正方体AC1中,AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.
∵正方形ABCD,AC⊥BD且AC∩AA1=A.∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1.∴A1E⊂平面ACC1A1.∴BD⊥A1E.
(2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO.
由(1)得BD⊥平面A1ACC1,∴BD⊥A1O,BD⊥EO.
∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角.
∵AB=a,E为CC1中点,∴A1O=
6
2a,EO=
3
2a,A1E=
3
2a.
∴A1O2+OE2=A1E2.∴A1O⊥OE.∴∠A1OE=90°.
∴平面A1BD⊥平面BDE.
(3)由(2)得A1O⊥平面BDE 且A1O=
6
2a,
又S△BDE=
6
4a2,
∴V=
1
3Sh=
1
4a3﹒
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
考点点评: 本题考查的知识点是线面垂直的性质,平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,其中(1)、(2)的关键是熟练掌握空间线线、线面及面面之间位置关系的转化,(3)的关键是求出棱锥的底面面积及高的长.