(2012•黄州区模拟)已知集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2},集合B={a∈R|已知函数f(x)=[a/x]

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  • 解题思路:解分式不等式求出集合A,根据集合B可得a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.利用导数求得h(x)=x-xlnx的值域为(-∞,1],要使不等式a≤xlnx 在(0,+∞)上有解,

    只要a小于或等于h(x)的最大值即可,即a≤1 成立,故B={a|a≤1},由此求得A∩B.

    集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2}={x|[3−3x/2x−1≤0}={x|

    x−1

    2x−1 ≥0 }={x|(x-1)(2x-1)≥0,且2x-1≠0}

    ={x|x<

    1

    2],或 x≥1}.

    由集合B 可知f(x)的定义域为{x|x>0},不等式[a/x]-1+lnx≤0有解,

    即不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.

    令h(x)=x-xlnx,可得h′(x)=1-(lnx+1)=-lnx,令h′(x)=0,可得 x=1.

    再由当0<x<1 时,h′(x)>0,当x>1 时,h′(x)<0,可得当x=1时,h(x)=x-xlnx 取得最大值为 1.

    要使不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解,只要a小于或等于h(x)的最大值即可.

    即a≤1 成立,所以集合B={a|a≤1}.

    所以A∩B={x|x<[1/2],或 x=1}.

    故选C.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;交集及其运算.

    考点点评: 本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法,利用导数判断函数的单调性,根据函数的单调性求函数的值域,两个集合的交集的定义和求法,属于中档题.