解题思路:解分式不等式求出集合A,根据集合B可得a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.利用导数求得h(x)=x-xlnx的值域为(-∞,1],要使不等式a≤xlnx 在(0,+∞)上有解,
只要a小于或等于h(x)的最大值即可,即a≤1 成立,故B={a|a≤1},由此求得A∩B.
集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2}={x|[3−3x/2x−1≤0}={x|
x−1
2x−1 ≥0 }={x|(x-1)(2x-1)≥0,且2x-1≠0}
={x|x<
1
2],或 x≥1}.
由集合B 可知f(x)的定义域为{x|x>0},不等式[a/x]-1+lnx≤0有解,
即不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.
令h(x)=x-xlnx,可得h′(x)=1-(lnx+1)=-lnx,令h′(x)=0,可得 x=1.
再由当0<x<1 时,h′(x)>0,当x>1 时,h′(x)<0,可得当x=1时,h(x)=x-xlnx 取得最大值为 1.
要使不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解,只要a小于或等于h(x)的最大值即可.
即a≤1 成立,所以集合B={a|a≤1}.
所以A∩B={x|x<[1/2],或 x=1}.
故选C.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;交集及其运算.
考点点评: 本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法,利用导数判断函数的单调性,根据函数的单调性求函数的值域,两个集合的交集的定义和求法,属于中档题.