Question

（2014•马鞍山三模）数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，

由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得

anan+1+anan+1q ＞anan+1q ⇒1+q ＞q2，

即q²-q-1＜0（q＞0）

解得0＜q＜

1+

5

2．…4分

（Ⅱ）由数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，

得

an+1an+2

anan+1＝q⇒

an+2

an＝q²，

这表明数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，

所有偶数项成等比数列，且公比都是q²，…8分

又a₁=1，a₂=2，

∴当q≠1时，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n

=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）

=

a1(1−qn)

1−q+

a2(1−qn)

1−q＝

3(1−qn)

1−q…10分

当q=1时，

S2n＝a1+a2+a3+a4+…+a2n−1+a2n=

(a1+a3+…+a2n−1)+(a2+a4+a6+…+a2n)

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…12分．