解题思路：（Ⅰ）由已知条件得|f（x）-f（y）|=
|x+y|
(
x
2
+2)(
y
2
+2)]|x-y|≤
|x|+|y|
(
x
2
+2)(
y
2
+2)
•|x-y|，从而得到
|x|+|y|
(
x
2
+2)(
y
2
+2)
＜
1
4
，由此能证明|f（x）-f（y）|＜[1/4]|x-y|．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|ak-bk|≤[1/4]|ak-1-bk-1|≤…≤
(
1
4
)
k−1
|a1-b1|，从而得到|ak-bk|＜[1/2
(
1
4
)
k−1
对任意正整数k成立，由此能证明|Sn-
T
n
|＜
2
3]．
（Ⅲ）由已知条件推导出|at-t|=≤[1/4]|ak-t-t|，从而昨到|ak-t|＜[1/2
•(
1
4
)
k−1
对任意正整数k成立，由此能证明存在唯一实数T满足|Sn-nt|＜
2
3]（n∈N+）．
（Ⅰ）证明：∵f（x）=[1
x2+2，
∴|f（x）-f（y）|=
|x+y|
(x2+2)(y2+2)|x-y|≤
|x|+|y|
(x2+2)(y2+2)•|x-y|，
1/4−
|x|+|y|
(x2+2)(y2+2)＝
x2y2+2(|x|−1)2+2(|x|−1)2
4(x2+2)(y2+2)]，
∴
|x|+|y|
(x2+2)(y2+2)＜
1
4，又∵x≠y，
∴|f（x）-f（y）|＜[1/4]|x-y|．…（4分）
（Ⅱ）由第（Ⅰ）题结论知：|ak-bk|≤[1/4]|ak-1-bk-1|≤…≤(
1
4)k−1|a1-b1|，
∵a1=f（a0），b1=f（b0），
∴0＜x1≤
1
2，0＜b1 ≤
1
2，∴|a1−b1|＜
1
2，
∴|ak-bk|＜[1/2(
1
4)k−1对任意正整数k成立，
∴|Sn-Tn |=|
n
k＝1(ak−bk)|≤
n
k＝1|ak−yk|
＜
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查不等式的证明，考查符合条件的实数唯一存在的证明，解题时要认真审题，注意数列与函数的综合运用．
1年前
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