Question

△ABC三条高分别为ha.hb.hc,r为内切圆半径,且ha+hb+hc=9r求证:该三角形为等边三角形

Answer 1

证明：

r=2S/(a+b+c)

所以ha+hb+hc=9r=18S/(a+b+c)

所以(a+b+c)（ha+hb+hc）=18S

又由柯西不等式得(a+b+c)（ha+hb+hc）≥（√aha+√bhb+√chc)²=18S

所以柯西不等式取到等号

所以a/ha=b/hb=c/hc

又a/ha=a/(2S/a)=a²/(2S),同理：b/hb=b²/(2S),c/hc=c²/(2S)

所以a=b=c

所以该三角形为等边三角形