Question

（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y）．则|P

Answer 1

解题思路：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．

有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），

动直线mx-y-m+3=0即 m（x-1）-y+3=0，经过点定点B（1，3），

注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．

故|PA|•|PB|≤

|PA|2+|PB|2

2=5（当且仅当|PA|＝|PB|＝

5时取“=”）

故答案为：5

点评：

本题考点： 点到直线的距离公式．

考点点评： 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．