Question

设a与b都是n阶方阵,且a与b相似,证明a与b的特征多项式相同

Answer 1

即证明矩阵A与矩阵B有相同的特征值

设矩阵A有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量x

则Ax=λx

因为矩阵A与矩阵B相似

所以存在n阶可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B

在Ax=λx两边同时左乘P^(-1)

P(-1)Ax=P(-1)λx=λ[P(-1)x]

P(-1)Ax=P(-1)APP^(-1)x=B[P^(-1)x]=λ[P(-1)x]

所以矩阵B有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量P(-1)x

特征值相同,特征多项式当然就相同了