关系是：MD=MF,MD⊥MF.
证法一：如图,延长DM交CE于N,连结
FD、FN.
∵正方形ABCD,∴AD∥BE,AD=DC
∴∠1＝∠2.
又∵AM=EM,∠3＝∠4,
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN,MD=MN.
∵AD=DC,∴DC=NE.
又∵正方形CGEF,
∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°.
又∵正方形ABCD,∴∠BCD＝90°.
∴∠DCF=∠NEF=45°,
∴△FDC≌△FNE.
∴FD=FN,∠5＝∠6
∵∠CFE＝90°,∴∠DFN＝90°.
又∵DM=MN,∴MD=MF,DM⊥MF.