已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程

2个回答

  • 因为过原点,设直线方程方程为y=kx

    由y=-x²/a + 2x= -(1/a)x(x-2a) =-(1/a)(x-a)²+a可知:

    抛物线与x轴交于(0,0)、(2a,0)两点,极值为a,关于x=a对称

    (1)a>0时,抛物线开口向下,在y轴右侧:

    抛物线与x轴围成的面积S=三分之二的底乘以高,用定积分算为:

    S=∫ 0->2a(-x²/a + 2x)dx=(-x³/3a+x²)|0->2a=4a²/3 (0->2a标注定积分上下限)

    抛物线y=-x²/a + 2x与y=kx的交点除原点外为(a(2-k),ak(2-k))

    抛物线与y=kx围成的面积:∫ 0->a(2-k)(-x²/a + 2x-kx)dx

    =[-x³/3a+x²(2-k)/2]|0->a(2-k)=a²(2-k)³/6=S/2=2a²/3,解得k=2-³√4 (³√4表示:三次根号4)

    即 y=(2-³√4)x

    (2)a