Question

已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N*），它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36．

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列的定义和通项公式、前n项和公式即可得出；

（2）利用（1）的结论，通过作差b_n+1-b_n并对n分奇偶讨论即可得出．

（1）∵对于∀n∈N^*，都有2a_n+1=a_n+a_n+2，∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d，

∵a₃=5，S₆=36，∴

a1+2d＝5

6a1+

6×5

2d＝36，解得

a1＝1

d＝2．

∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（n∈N^*）．

（2）由（1）可得：bn＝6n+(−1)n−1λ•2(2n−1)，（λ为正整数，n∈N^*），

∴b_n+1-b_n=6ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2（2n+1）-[6ⁿ+（-1）^n-1λ•2（2n-1）]

=5×6ⁿ+（-1）ⁿλ×4，

当n为偶数时，∵λ为正整数，∴b_n+1-b_n＞0成立；

当n奇数时，要使5×6ⁿ-4λ＞0恒成立，则λ＜[

5×6n

4]min，

∵

5×6n

4关于n单调递增，∴当n=1时，取得最小值[5×6/4＝

15

2]，又λ为正整数，取λ=7，6，5，4，3，2，1．

∴当λ=7，6，5，4，3，2，1时，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的函数特性．

考点点评： 熟练掌握等差数列的定义和通项公式、前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法是解题的关键．