等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于(

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  • 解题思路:根据所给的对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,给n取1和2,得到数列的前两项,得到等比数列{an2}是首项是1,公比是4的等比数列,应用等比数列的前n项和公式得到结果.

    ∵当n=2时,a1+a2=3,

    当n=1时,a1=1,

    ∴a2=2,

    ∴公比q=2,

    ∴等比数列{an}是首项是1,公比是2的等比数列,

    ∵a12=1,a22=4,

    ∴等比数列{an2}是首项是1,公比是4的等比数列,

    ∴a12+a22+a32+…+an2=

    1−4n

    1−4=

    1

    3(4n−1),

    故选A.

    点评:

    本题考点: 数列的求和.

    考点点评: 有的数列可以通过递推关系式构造新数列,构造出一个我们较熟悉的数列,从而求出数列的通项公式.这类问题考查学生的灵活性,考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力,这是一种化归能力的体现.