解题思路:根据所给的对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,给n取1和2,得到数列的前两项,得到等比数列{an2}是首项是1,公比是4的等比数列,应用等比数列的前n项和公式得到结果.
∵当n=2时,a1+a2=3,
当n=1时,a1=1,
∴a2=2,
∴公比q=2,
∴等比数列{an}是首项是1,公比是2的等比数列,
∵a12=1,a22=4,
∴等比数列{an2}是首项是1,公比是4的等比数列,
∴a12+a22+a32+…+an2=
1−4n
1−4=
1
3(4n−1),
故选A.
点评:
本题考点: 数列的求和.
考点点评: 有的数列可以通过递推关系式构造新数列,构造出一个我们较熟悉的数列,从而求出数列的通项公式.这类问题考查学生的灵活性,考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力,这是一种化归能力的体现.