Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC=-cosA．进而求得C和A的值．

（Ⅱ）由余弦定理求得b的表达式，根据基本不等式求得cosB的范围，进而求得sinB的大值．

（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．

故sin²C=cos²A．因为A为钝角，所以sinC=-cosA．

由cosA＝cos(π−

π

4−C)，可得sinC＝sin(

π

4−C)，得C＝

π

8，A＝

5π

8．

（Ⅱ）由余弦定理及条件b2＝

1

2(a2+c2)，有cosB＝

a2+c2−b2

4ac，

因a²+c²≥2ac，

所以cosB≥

1

2．

故sinB≤

3

2，

当a=c时，等号成立．从而，sinB的最大值为

3

2．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了三角函数与不等式基础知识的结合．