Question

i(i+1)(i+2)(i+3)……(i+k-1)多项式展开后各项系数分别为多少?

Answer 1

x(x+1)...(x+k-1) = [k;k]x^k+[k;k-1]x^{k-1}+...+[k;1]x+[k;0]

可以类比一下二项式定理

(x+1)^k = (k;k)x^k+(k;k-1)x^{k-1}+...+(k;1)x+(k;0)

这些系数[k;n]不是组合数,而是第一类Stirling数的绝对值,只不过符号上很像