解题思路：根据函数y=f（x）是R上的奇函数，并且f（x）=g（x+2），得到g（-x+2）=-g（x+2）．结合g（x）是R上的偶函数，得到g（x+2）=-g（x-2），进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．
由题意可得：因为函数y=f（x）是R上的奇函数，并且f（x）=g（x+2），
所以f（-x）=-f（x），即g（-x+2）=-g（x+2）．
又因为函数y=g（x）是R上的偶函数，
所以g（x+2）=-g（x-2），
所以g（x）=-g（x-4），
所以g（x-4）=-g（x-8），所以g（x）=g（x-8），所以函数g（x）是周期函数，并且周期为8．
所以g（10.5）=g（2.5）=-g（-1.5）=-g（1.5）=0.5．
故选D．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．