如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.

2个回答

  • 解题思路:(1)过O点作OE⊥CD于点E,通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论.

    (2)过点D作DF⊥BC于点F,根据切线的性质可得出DC的长度,继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长,继而可得出半径.

    (1)证明:过O点作OE⊥CD于点E,

    ∵AM切⊙O于点A,

    ∴OA⊥AD,

    又∵DO平分∠ADC,

    ∴OE=OA,

    ∵OA为⊙O的半径,

    ∴OE是⊙O的半径,且OE⊥DC,

    ∴CD是⊙O的切线.

    (2)过点D作DF⊥BC于点F,

    ∵AM,BN分别切⊙O于点A,B,

    ∴AB⊥AD,AB⊥BC,

    ∴四边形ABFD是矩形,

    ∴AD=BF,AB=DF,

    又∵AD=4,BC=9,

    ∴FC=9-4=5,

    ∵AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E,

    ∴DA=DE,CB=CE,

    ∴DC=AD+BC=4+9=13,

    在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2

    ∴DF=

    DC2−FC2=

    132−52=12,

    ∴AB=12,

    ∴⊙O的半径R是6.

    点评:

    本题考点: 切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理.

    考点点评: 此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识,证明第一问关键是掌握切线的判定定理,解答第二问关键是熟练切线的性质,难度一般.