定积分∫(1 e)f(x)dx 与 f'(1)均为常数,因此f(x)可以表示为f(x)=lnx+C的形式.
f'(x)=1/x
f'(1)=1/1=1
f(x)=lnx+∫(1 e)(lnx +c)dx -f'(1)=lnx +∫(1 e)(lnx+c)dx -1
令lnx=t,则x∈[1,e] lnx∈[0,1] t∈[0,1] x=e^t
(lnx +c)dx=(t+c)d(e^t)=e^t(t+c)dt=(t·e^t +c·e^t)dt
f(x)=lnx +∫(0 1)(t·e^t+c·e^t)dt -1
=lnx+(t·e^t +c·e^t-e^t)|(0 1) -1
=lnx +(1·e +c·e-e) -(0·1+c·1 -1) -1
=lnx+ce -c=lnx +c
c(e-2)=0
e≠0,要等式成立,只有c=0
f(x)=lnx
提示：注意到定积分、函数在某一点处的导数都是具体值,剩下的就简单了.