如图,已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上,且AB=BD,BM⊥AC于M,

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  • 解题思路:在MA上截取ME=MC,连接BE,由BM⊥AC,得到BE=BC,得到∠BEC=∠BCE;再由

    AB

    =

    BD

    ,得到∠ADB=∠BAD,而∠ADB=∠BCE,则∠BEC=∠BAD,根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°,易得∠BEA=∠BCD,从而可证出△ABE≌△DBC,得到AE=CD,即有AM=DC+CM.

    证明:在MA上截取ME=MC,连接BE,如图,

    ∵BM⊥AC,而ME=MC,

    ∴BE=BC,

    ∴∠BEC=∠BCE,

    AB=

    BD,

    ∴∠ADB=∠BAD,

    而∠ADB=∠BCE,

    ∴∠BEC=∠BAD,

    又∵∠BCD+∠BAD=180°,∠BEA+∠BCE=180°,

    ∴∠BEA=∠BCD,

    而∠BAE=∠BDC,

    所以△ABE≌△DBC(AAS),

    ∴AE=CD,

    ∴AM=DC+CM.

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,同弧和等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质.