Question

已知点P（2，0），圆C：x2+y2-8y=0，过P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，当|OP|=|O

Answer 1

解题思路：由题意可得，M，P点既在以O为圆心|OP|为半径的圆上，又在以CP为直径的圆上，把这两个圆的方程相减，求得公共弦所在的直线l方程．再求得点C到公共弦的距离，弦长AB的值，可得△ABC的面积．

圆C：x²+y²-8y=0即 x²+（y-4）²=16，表示以C（0，4）为圆心、半径等于4的圆．

由题意可得，M，P点既在以O为圆心|OP|为半径的圆：x²+y²=4上．

由于M为弦AB的中点，故有CM⊥AB，

故点M、P又在以CP为直径的圆（x-1）²+（y-2）²=5上，

所以MP是两圆的公共弦，其所在直线方程为x+2y-2=0，

圆心C（0，4）到直线x+2y-2=0的距离为CM=

6

5

5．

由于AM=

42−CM2=

44

5，∴AB=2AM=2

44

5，

所以△ABC的面积为 [1/2]AB•CM=

12

11

5．

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．