(2014•齐齐哈尔三模)已知f(x)=(x-1)lnx,g(x)=x3+(a-1)x2-ax.

1个回答

  • (1)∵f(x)=(x-1)lnx,∴f′(x)=lnx+[x−1/x]=lnx-[1/x]+1,

    易知导数f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′(1)=0,

    ∴当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.

    ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

    ①当t+[1/2]≤1,即0<t≤[1/2]时,f(x)的最小值为f(t+[1/2])=(t-[1/2])ln(t+[1/2]);

    ②当t<1<t+[1/2],即[1/2]<t<1时,f(x)的最小值为f(1)=0;

    ③当t≥1时,f(x)的最小值为f(t)=(t-1)ln t.

    (2)由(x+1)f(x)≤g(x)得,(x+1)(x-1)lnx≤x(x-1)(x+a),

    当x=1时,以上不等式显然成立;

    当x>1时,由(x+1)(x-1)ln x≤x(x-1)(x+a)得,a≥[x+1/x]lnx-x,

    设h(x)=[x+1/x]lnx-x(x≥1),则h′(x)=

    −x2+x+1−lnx

    x2,

    再设m(x)=-x2+x+1-lnx(x≥1),易知函数m(x)在(1,+∞)上单调递减,

    又m(1)=1>0,m(2)=-1-ln2<0,∴存在x0∈(1,2),使得m(x0)=0,

    ∴当1<x<x0时,h′(x)>0,h(x)在(1,x0)上单调递增,

    当x>x0时,h′(x)<0,h(x)在(x0,+∞)上单调递减,

    ∴h(x)max=h(x0)>h(1)=-1,

    又lnx<x(x≥1),∴[x+1/x]lnx-x<1成立,

    现判断[x+1/x]lnx-x<0(x≥1)是否成立,即x-1-lnx+[1/x+1]>0(x≥1),

    设k(x)=x-1-lnx,则k′(x)=1-[1/x]=[x−1/x]≥0,

    ∴k(x)在[1,+∞)上单调递增,又k(1)=1-1-ln1=0,

    ∴x-1-lnx≥0,∴x-1-lnx+[1/x+1]>0(x≥1)成立,

    ∴存在整数a=0使得对任意x∈[1,+∞),(x+1)f(x)≤g(x)恒成立.