首先说明一点,你给的已知条件有缺失,应该还有k>0,因为f(x)在(a,b)上连续且恒有f(x)>0,所以∫(a,ξ)f(x)dx>0,∫(ξ,b)f(x)dx>0,ξ∈(a,b),而根据结论有k=∫(a,ξ)f(x)dx/∫(ξ,b)f(x)dx>0.
其次,最好是f(x)在[a,b]上连续,若不然,如果f(x)=1/x,则f(x)在(0,b)上连续且恒正,但是这个积分∫(a,ξ)f(x)dx就麻烦了.要么就是可以保证∫(a,ξ)f(x)dx是非广义积分.
证：设g(x)=∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx
由f(x)在(a,b)上的连续性知g(x)在(a,b)上连续.
则lim(x->a)g(x)=lim(x->a)[∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx]=0-k*lim(x->a)∫(x,b)f(x)dx
=-k*lim(x->a)∫(x,b)f(x)dxb)g(x)=lim(x->b)[∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx]=lim(x->b)∫(a,x)f(x)dx-0
=lim(x->b)∫(a,x)f(x)dx>0
(或者f(x)在[a,b]上连续恒正,g(a)=-k∫(a,b)f(x)dx0)
则至少存在一点ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即∫(a,ξ)f(x)dx-k∫(ξ,b)f(x)dx=0.
所以∫(a,ξ)f(x)dx=k∫(ξ,b)f(x)dx.