Question

设a,b,c是格(L,∨,∧)的任意3个元素,证明:

Answer 1

证明a∧b表示a,b的最大下界,a∨b表示a,b的最小上界,故由下界上界定义得

a∧b≤a,b≤ b∨(a∧c),

a∧b∧b≤a∧(b∨(a∧c))

a∧b≤a∧(b∨(a∧c)) ,(1)

a≤a,a∧c≤b∨(a∧c),

a∧a∧c≤a∧(b∨(a∧c)),

a∧c≤a∧(b∨(a∧c)),(2)

由(1)(2)可知a∧(b∨(a∧c))是a∧b,a∧c的上界,由最小上界的定义得(a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨(a∧c))