解题思路:本题考查的知识点是三角函数的定义,及倍角公式,由sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=[1/2]+cosαsinβ,sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=[1/2]-cosαsinβ,结合正弦函数的值域为[-1,1],解不等式组即可得到cosαsinβ的取值范围.
∵sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=[1/2]+cosαsinβ,
∴-1≤[1/2]+cosαsinβ≤1
即-[3/2]≤cosαsinβ≤[1/2]
∵sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=[1/2]-cosαsinβ,
∴-1≤[1/2]-cosαsinβ≤1
即-[1/2]≤cosαsinβ≤[3/2]
∴-[1/2]≤cosαsinβ≤[1/2]
∴cosαsinβ的取值范围为[-[1/2],[1/2]].
点评:
本题考点: 二倍角的正弦;二倍角的余弦.
考点点评: 观察题目中已知与未知的量,并根据它们的关系选择计算sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=[1/2]+cosαsinβ,sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=[1/2]-cosαsinβ,是解决本题的关键,要求大家熟练掌握三角函数的相关公式.