Question

设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=log2015xn，则a1+a2

Answer 1

解题思路：由题意可得切点P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=[n/n+1]，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₄=[1/2015]，代入可求出答案．

由题意可得切点P（1，1），

对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ

∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）

令y=0可得，x_n=[n/n+1]∴x₁x₂…x₂₀₁₄=[1/2]•

2

3•

3

4••

2014

2015=[1/2015]，

∴log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁x₂…x₂₀₁₄）

=log₂₀₁₅2015^-1=-1

故答案为：-1

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．